Phương Trình Mặt Phẳng: Công Thức, Cách Viết Và Ví Dụ

Q: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là gì?

d(M0, (P)) = |a·x0 + b·y0 + c·z0 + d| / căn(a² + b² + c²), với (P): ax + by + cz + d = 0.

Phương trình mặt phẳng mô tả một mặt phẳng trong không gian Oxyz bằng một hệ thức đại số duy nhất, thay vì phải hình dung qua hình vẽ. Chỉ với bốn hệ số a, b, c, d, bạn xác định được mặt phẳng nghiêng theo hướng nào, có song song hay vuông góc với mặt phẳng khác hay không, và tính được khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến nó. Đây là kiến thức nền của chương hình học không gian Oxyz lớp 12, xuất hiện trong hầu hết đề thi tốt nghiệp THPT. Nội dung sau tổng hợp công thức, các cách viết phương trình mặt phẳng phổ biến nhất, cùng ví dụ có lời giải chi tiết.

Phương trình mặt phẳng là gì?

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều biểu diễn được bằng một phương trình bậc nhất ba ẩn x, y, z.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

ax + by + cz + d = 0, trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0 (tức a² + b² + c² > 0).

Bộ ba số (a; b; c) chính là tọa độ của vectơ pháp tuyến — vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Hệ số d quyết định mặt phẳng cách gốc tọa độ bao xa; khi d = 0, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến là vectơ khác 0 có giá vuông góc với mặt phẳng.

Nếu mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0 thì n = (a; b; c) là một vectơ pháp tuyến của (P). Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả cùng phương với nhau — nếu n là một vectơ pháp tuyến thì k·n (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Nhiều bài không cho sẵn vectơ pháp tuyến mà phải suy ra từ hai vectơ nằm trong mặt phẳng, bằng tích có hướng — cách làm cụ thể ở phần ví dụ bên dưới.

Các dạng phương trình mặt phẳng thường gặp

Tùy dữ kiện đề bài, bạn viết phương trình mặt phẳng theo ba dạng phổ biến sau.

Dạng	Công thức	Áp dụng khi
Tổng quát	ax + by + cz + d = 0	Đã biết vectơ pháp tuyến (a; b; c)
Qua 1 điểm + pháp tuyến	a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0	Biết điểm M0(x0; y0; z0) và vectơ pháp tuyến n = (a; b; c)
Đoạn chắn	x/p + y/q + z/r = 1	Biết 3 giao điểm với 3 trục tọa độ: (p;0;0), (0;q;0), (0;0;r), p, q, r ≠ 0

Dạng thứ hai dùng nhiều nhất vì hầu hết đề cho sẵn một điểm thuộc mặt phẳng cùng vectơ pháp tuyến. Lưu ý p, q, r trong dạng đoạn chắn là đoạn chắn trên từng trục, khác với hệ số a, b, c của phương trình tổng quát.

Cách viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng

Khi đề cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, bạn tìm vectơ pháp tuyến bằng tích có hướng của hai vectơ tạo từ 3 điểm, theo 3 bước sau.

Bước 1: Lập hai vectơ AB và AC từ tọa độ 3 điểm.

Bước 2: Tính tích có hướng n = [AB, AC] — đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua A (hoặc B, C) với pháp tuyến n vừa tìm, theo công thức a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0.

Cách này áp dụng cho mọi trường hợp 3 điểm không thẳng hàng, kể cả khi đề không cho sẵn vectơ pháp tuyến.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Biết phương trình mặt phẳng, bạn tính được ngay khoảng cách từ bất kỳ điểm nào đến mặt phẳng mà không cần dựng hình.

EED

Cho mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 và điểm M0(x0; y0; z0). Khoảng cách từ M0 đến (P) là:

d(M0, (P)) = |a·x0 + b·y0 + c·z0 + d| / √(a² + b² + c²)

Công thức dùng dấu giá trị tuyệt đối ở tử số vì khoảng cách luôn không âm, bất kể điểm nằm về phía nào của mặt phẳng.

Ví dụ về phương trình mặt phẳng có lời giải

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1; 2; -3), nhận n = (2; -1; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải: Áp dụng a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 với (a; b; c) = (2; -1; 4), M0 = M(1; 2; -3):

2(x – 1) – 1(y – 2) + 4(z + 3) = 0 ⇔ 2x – 2 – y + 2 + 4z + 12 = 0 ⇔ 2x – y + 4z + 12 = 0.

Vậy (P): 2x – y + 4z + 12 = 0.

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(0; 2; 1).

Lời giải:

Bước 1: AB = (1; 1; -1), AC = (-1; 2; 0).

Bước 2: n = [AB, AC] = (1·0 – (-1)·2; (-1)·(-1) – 1·0; 1·2 – 1·(-1)) = (2; 1; 3).

Bước 3: Qua A(1; 0; 1) với pháp tuyến n = (2; 1; 3): 2(x – 1) + 1(y – 0) + 3(z – 1) = 0 ⇔ 2x + y + 3z – 5 = 0.

Vậy (ABC): 2x + y + 3z – 5 = 0. Bạn có thể thay B, C vào để kiểm tra — cả hai đều thỏa mãn.

Ví dụ 3. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P): 2x + y + 3z – 5 = 0 (mặt phẳng (ABC) ở ví dụ 2).

Lời giải: d(M, (P)) = |2·1 + 1·2 + 3·3 – 5| / √(2² + 1² + 3²) = 8/√14 ≈ 2,14.

Bài tập tự luyện

Bạn thử áp dụng công thức vừa học để giải hai bài sau, rồi so đáp số.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng qua N(1; 0; 0), song song với (Q): x – 2y + 3z – 4 = 0.

EED

Gợi ý: hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến. Đáp số: x – 2y + 3z – 1 = 0.

Bài 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (R): 3x – 4y + 12z – 26 = 0.

Gợi ý: áp dụng trực tiếp công thức khoảng cách với M0 = O(0; 0; 0). Đáp số: d = 2.

Lỗi thường gặp khi viết phương trình mặt phẳng

Vài lỗi lặp lại nhiều nhất khi làm dạng bài này:

Nhầm tọa độ vectơ pháp tuyến với tọa độ điểm khi thế vào công thức.
Quên điều kiện a² + b² + c² > 0 — n = (0; 0; 0) nghĩa là 3 điểm đã cho thẳng hàng, không lập được mặt phẳng.
Nhầm dấu khi khai triển a(x – x0), nhất là khi x0 âm.
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở công thức khoảng cách — khoảng cách không thể âm.

Tương tự cách viết phương trình đường thẳng, phần dễ sai nhất là xác định đúng vectơ đặc trưng trước khi thế công thức.

Câu hỏi thường gặp về phương trình mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì?

Là phương trình ax + by + cz + d = 0, với a, b, c không đồng thời bằng 0. Bộ (a; b; c) là tọa độ vectơ pháp tuyến.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì?

Là vectơ khác 0 có giá vuông góc với mặt phẳng. Nếu (P): ax + by + cz + d = 0 thì n = (a; b; c) là một pháp tuyến của (P).

Cách viết phương trình mặt phẳng qua một điểm và vectơ pháp tuyến?

Dùng công thức a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0, với M0(x0; y0; z0) là điểm mặt phẳng đi qua, n = (a; b; c) là pháp tuyến.

Khi nào mặt phẳng đi qua gốc tọa độ?

Khi d = 0 trong phương trình tổng quát. Lúc đó O(0; 0; 0) luôn thỏa mãn phương trình.

Một mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

Có vô số — mọi vectơ cùng phương với một pháp tuyến đã biết, tức nhân với k ≠ 0 bất kỳ, đều là pháp tuyến của cùng mặt phẳng.

Làm sao viết phương trình mặt phẳng khi biết 3 điểm không thẳng hàng?

Lập hai vectơ từ 3 điểm, lấy tích có hướng để được vectơ pháp tuyến, rồi viết phương trình qua một trong 3 điểm với pháp tuyến vừa tìm.

Dạng phương trình đoạn chắn của mặt phẳng dùng khi nào?

Khi cần biểu diễn theo 3 giao điểm của mặt phẳng với 3 trục tọa độ: x/p + y/q + z/r = 1, với p, q, r là đoạn chắn khác 0 trên từng trục.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là gì?

d(M0, (P)) = |a·x0 + b·y0 + c·z0 + d| / √(a² + b² + c²), với (P): ax + by + cz + d = 0.

Kết luận

Phương trình mặt phẳng gói gọn trong một hệ thức bậc nhất ax + by + cz + d = 0, nhưng đủ để giải hầu hết bài toán không gian Oxyz: viết phương trình qua điểm, qua 3 điểm, hay tính khoảng cách. Chìa khóa là luôn xác định đúng vectơ pháp tuyến trước khi thế vào công thức. Bạn nên luyện thêm vài bài tự luyện để quen tay, đồng thời có thể ôn thêm phương trình chính tắc của elip — một dạng phương trình khác cũng hay gặp trong đề thi.